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祖冲之与圆周率

孙小礼

    有人以为“祖冲之发明了圆周率π”，这是误解。这个误解
还出现在了不久前的某次“知识问答”中。看来有必要向公众说
明圆周率根本不是哪一个人的发明，并需要按照历史事实阐明祖
冲之对π的杰出贡献。
    圆周率是圆周与直径的比值。早在远古时代，人们就从经验
中发现这个比值接近于一个固定的数。因为圆是人们日常生活中
经常要碰到的几何图形，而在各种容器制造、各种工程设计以及
天文学、力学中只要涉及与圆有关的计算，就都要用到圆周率。
圆周率的重要性逐渐为人们所了解，对圆周率的研究和计算自然
也就成为古代数学的一个重要课题。许多大数学家曾经致力于求
出圆周率的日益精确的数值，这种计算的成果甚至成为古代数学
才能的一种量度。1737年，数学家欧拉明确使用希腊字母π表示
圆周率，以后π成为了国际通用的圆周率符号。1767年数学家
J.H.Lambert证明了π是无理数。在这之前，对π计算还包含有希
望验证它是否是有理数的目的。
    在圆周率的计算史上，第一个高峰是古希腊著名数学家阿基
米德(公元前287－212)对π的计算方法和结果。他看出圆的周长
介于其内接正多边形的周长和外切正多边形的周长之间，用几何
方法算出圆的内接正96边形的周长和外切正96边形的周长，求得
接近π值的上、下界，他的结果是：
    223/71<π<22/7
    圆周率计算史上的第二个高峰是中国古代数学家刘徽、祖冲
之等人的贡献，而尤以祖冲之给出的分数值355/113最为著称，名
垂古今中外。
    在我国的古算书中，曾以“周三径一”表示圆周率，即π
=3。自西汉末，先后有刘歆、张衡、王蕃、皮延宗等人结合各种
实际问题对圆周率作过计算，而尤其以刘徽和祖冲之的计算最为
精到。
    刘徽是三国时代的数学泰斗，在他撰著《九章算术注》(公元
263年)的方田章圆田术中写出了他对圆周率的研究和计算。他的
基本思路和方法虽然与阿基米德相仿，也是运用几何学原理和逐
步逼近的方法，然而又确有他自己的独创性。他指出，古率“周
三径一”其实只是圆内接正六边形的周长与直径之比，远不是圆
的周长与直径之比。他是运用圆内接正多边形的面积，当边数逐
步增大，就逐步逼近圆的面积的方法求圆周率的。他算到正3072
边形的面积，得到：
π=3927/1250(即π=3.1416)
    刘徽把他所开创的计算圆面积的方法称为“割圆术”，他
说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆
周合体，而无所失矣。”刘徽的这种精辟思想，正是出现在我国
古代数学中的极限概念的萌芽时期。
    祖冲之(公元429－500)是我国南北朝时期的卓越科学家，曾
任南徐州(今江苏镇江)从事史(州刺史的随员)。关于祖冲之对圆
周率的贡献，在唐代魏征等所撰《隋书》卷十六《律历志》中有
这样的记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自
刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率，未臻折衷。宋
末，南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈。圆周盈
数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽；肭数三丈一尺四寸一分
五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率：圆径一百一十
三，圆周三百五十五。约率：圆径七,圆周二十二。”
    在这段文字中，明确指出：古率很粗略，刘歆、张衡、刘
徽、王蕃、皮延宗等人虽然对圆周率有新的计算，仍不精确，祖
冲之则“更开密法”，求得圆周率的“正数在盈肭二限之间”，
并分别给出了密率值和约率值。这里清楚地记载了祖冲之所得到
的两个重要结果：
    1.3.1415926<π <3.1415927
    2.π之密率：355/113
    π之约率：22/7
    可惜文中没有说明祖冲之是怎样“更开密法”的，是用怎样
的方法和步骤求得了圆周率的新数值。祖冲之对圆周率的研究和
计算的方法写在他的数学著作《缀术》中。直到唐代《缀术》都
列为数学教科书，并且作为教科书流传到日本和朝鲜。然而《缀
术》的内容比较艰深，正如《隋书·律历志》所说：祖冲之“所
著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”。
以至在元代以后失传。
    因无原始文献作根据，数学史家对祖冲之的计算方法有各种
不同的推测。不过对于第一个结果，多数人认为，祖冲之可能是
沿用了刘徽的思路和方法，计算出圆内接正12288边形的面积和正
24576边形的面积而得到的。在第二个结果中，约率22/7早为阿基
米德算出，而密率355/113则是令人叹服的空前杰作。
    日本学者三上义夫在其1913年出版的英文本《中日数学发展
史》中，建议将355/113称为“π的祖冲之分数值”。我国科学家
茅以升于1917年在《科学》杂志发表的文章中率先把它简称为
“祖率”。
    国际数学史学书籍中，在叙述中国古代数学成就时一般都要
讲到中国对圆周率的贡献。例如，H·伊夫斯在其《数学史概论》
中就说中国有许多数学家致力于π的计算，并且简述了王蕃、刘
徽和祖冲之的工作。在“π的年表”中，专有一条：约在480年，
古代中国数学家祖冲之给出了有趣的有理近似值
355/113=3.1415929……，准确到小数第六位。另有一条是：1585
年，Adsriaen Anthoniszoon重新发现了古代中国的比值
355/113。
    在C.C.Gillispie所编《科学家传记辞典》第13卷中列有祖冲
之的传记，说祖冲之为了改进刘歆、张衡、王蕃、刘徽和何承天
等人对π的计算，获得了更精确的π值，还摘录了《隋书·律历
志》中记载有祖冲之的两个重要结果的那一段话。
    李约瑟在《中国科学技术史》第三卷中指出：在圆周率方
面，中国人不仅赶上了希腊人，而且在公元五世纪又出现了跃
进，祖冲之的密率355/1123或3.1415929203，直到16世纪末一直
是举世无双的。
    最近，2000年10月，在祖冲之的家乡河北涞水县，召开了纪
念祖冲之逝世1500周年学术讨论会，纪念他在数学、天文、机械
制造，以及文学等多方面的成就。会上一件使我很感动的事是：
日本学者小林龙彦说，祖冲之的《缀术》一书曾经在日本流传，
对日本古代数学影响很大，他要在日本寻找，要到日本古寺院的
藏书中寻找，虽然只有0.000，000，000，000，000，………………1的
希望。

（科学时报·读书周刊2000.12.1）
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